미적분학의 기본 개념
미적분학은 연속적 변화의 수학적 연구이고 기하학은 형상의 연구이며 대수는 산술 연산의 일반화 연구입니다.
원래는 무한소 미적분 또는 "the calculus of infinitesimals"로 불리며, 미적분이라는 두 가지 주요 분기가 있습니다. 전자는 순간의 변화율, 곡선의 기울기, 후자는 양의 축적, 곡선 아래 또는 사이의 영역에 관한 것입니다. 이 두 가지는 미적분의 기본 정리에 따라 서로 연관되며 무한급수와 무한급수가 명확하게 정의된 한계에 수렵한다는 기본 개념을 이용합니다.
미적분은 17세기 후반에 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 독립적으로 개발되었습니다. 이후의 연구에서는 한계의 개념을 코드화하는 것을 포함하여 이러한 발전을 보다 견고한 개념적 기반에 두고 있습니다. 오늘날 미적분학은 과학, 공학, 사회과학에서 널리 사용되고 있습니다.
미적분학의 어원
수학 교육에서 미적분학은 기본적인 수학적 분석 과정을 의미하며 주로 함수와 한계 연구에 전념하고 있습니다. 미적분이라는 말은 라틴어로 작은 조약돌을 뜻하며, 의학에는 지금도 남아 있는 의미입니다. 이런 조약돌은 거리를 세는 법, 표 집계, 주판 산수를 위해 사용되었기 때문에 이 단어는 계산의 방법을 의미하게 되었습니다. 이런 의미에서 라이프니츠와 뉴턴이 출판되기 몇 년 전인 적어도 1672년에는 영어로 사용되었습니다.
미적분과 적분 미적분 외에도 이 용어는 수학적 관점에서 특정 개념을 모델링하려는 특정 계산 방법 및 관련 이론의 이름을 붙이는 데에도 사용됩니다. 이 관습의 예로는 명제 미적분, 리치 미적분, 변분 미적분, 람다 미적분, 시퀀셜 미적분, 프로세스 미적분 등이 있습니다. 게다가 "Calculus"이라고 하는 용어는 벤담의 펠리시티 계산이나 윤리 계산과 같은 시스템에 대해서, 윤리학이나 철학에 다양하게 적용되고 있습니다.
미적분학의 응용
미적분학은 물리과학의 모든 분야에서 사용됩니다. 수리과학, 컴퓨터과학, 통계학, 공학, 경제학, 비즈니스, 의학, 인구통계학, 그리고 문제가 수학적으로 모델링 되고 최적의 해결책이 필요한 기타 분야에서 사용됩니다. 이것에 의해, 어떤 사람은 변화의 속도에서 전체의 변화로, 또는 그 반대가 되는 것이 가능해집니다. 그리고 문제를 연구할 때 우리는 여러 번 하나를 알고 다른 하나를 찾으려고 합니다. 미적분은 다른 수학 분야와 결합하여 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 선형 대수와 함께 사용하여 도메인 내의 포인트 세트에 대해 최적인 선형 근사치를 찾을 수 있습니다. 또는 확률 이론에서 확률 밀도 함수가 주어진 연속 무작위 변수의 기댓값을 결정하는 데 사용할 수 있습니다. 해석기하학에서 함수의 그래프 미적분학은 높은 점과 낮은 점, 기울기, 변곡점을 찾는 데 사용합니다. 미적분은 방정식의 근사해를 찾는 데도 사용됩니다. 실제로는 미분방정식을 푸는 표준적인 방법이며, 대부분의 애플리케이션에서 루트 검색을 합니다. 예로는 뉴턴의 방법, 고정점 반복, 선형 근사 등의 방법이 있습니다. 예를 들어, 우주선은 오일러 방법의 변형을 사용하여 무중력 환경 내의 곡선 코스를 근사화합니다.
물리학은 특히 미적분을 이용합니다. 고전역학과 전자기학의 모든 개념은 미적분을 통해 관련되어 있습니다. 알려진 밀도의 물체 질량, 물체의 관성 모멘트, 중력과 전자기력에 의한 잠재력 에너지는 모두 미적분을 사용하여 구할 수 있습니다. 역학에서 미적분학의 사용 예는 뉴턴의 제2운동 법칙으로, 시간에 관한 물체의 운동량의 미분은 물체에 대한 순한 힘과 같다고 말합니다. 또는 뉴턴의 제2법칙은 정미력은 물체의 가속도의 질량 배, 즉 속도의 시간 미분이며, 따라서 공간 위치의 제2시간 미분이라고 함으로써 표현할 수 있습니다. 물체가 어떻게 가속하고 있는지를 아는 것부터 시작하여 우리는 미적분을 사용하여 그 경로를 도출합니다.
전자기학에서는 멕스웰의 전자기학 이론과 아인슈타인의 일반 상대성 이론도 미분 계산의 언어로 표현되고 있습니다. 화학은 또한 반응 속도를 결정하기 위해 미적분을 사용합니다. 599년 방사성 물질에 대한 연구를 시작했습니다. 생물학에서 인구 동태는 인구의 변화를 모형화하기 위해 생식과 사망률에서 시작됩니다.
단순 폐곡선 주위의 선적분과 경계면 평면 영역위의 이중적분과의 관계를 나타내는 그린 정리는 평면계로 알려진 장비에 적용되며 도면상 평면의 면적을 계산하는데 사용합니다. 예를 들어 부정형 화단이나 수영장이 물건 레이아웃을 설계할 때 차지하는 면적을 계산하는 데 사용할수 있습니다.
의학 영역에서는 미적분을 이용하여 혈관의 최적의 분기 각도를 찾아 흐름을 최대화할 수 있습니다. 미적분은 약물이 체내에서 얼마나 빨리 제거되는지, 또는 암종양이 얼마나 빨리 성장하는지를 이해하기 위해 적용할 수 있습니다.
경제학에서 미적분학은 한계 비용과 한계 수익을 모두 쉽게 계산하는 방법을 제공함으로써 최대 이익을 결정할 수 있습니다.