전체 글9 수학의 미적분학 미적분학의 기본 개념 미적분학은 연속적 변화의 수학적 연구이고 기하학은 형상의 연구이며 대수는 산술 연산의 일반화 연구입니다. 원래는 무한소 미적분 또는 "the calculus of infinitesimals"로 불리며, 미적분이라는 두 가지 주요 분기가 있습니다. 전자는 순간의 변화율, 곡선의 기울기, 후자는 양의 축적, 곡선 아래 또는 사이의 영역에 관한 것입니다. 이 두 가지는 미적분의 기본 정리에 따라 서로 연관되며 무한급수와 무한급수가 명확하게 정의된 한계에 수렵한다는 기본 개념을 이용합니다. 미적분은 17세기 후반에 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 독립적으로 개발되었습니다. 이후의 연구에서는 한계의 개념을 코드화하는 것을 포함하여 이러한 발전을 보다 견고한 개념적 기반에 두.. 2024. 3. 7. 대수학(Algebra) - 추상 대수학 및 보편 대수학 추상 대수학(Abstract algebra) 현대 대수학이라고도 불리는 추상 대수학은 다양한 유형의 대수 구조를 연구하는 것입니다. 대수 구조는 덧셈과 같은 수학적 객체에 대한 연산을 이해하기 위한 프레임워크입니다. 기본 대수와 선형 대수는 특정 대수 구조의 범위 내에서 동작하지만 추상 대수는 대수 구조가 서로 어떻게 다른지, 그룹, 필드 등 어떤 유형의 대수 구조가 있는지 비교하는 보다 일반적인 접근 방식을 취합니다. 형식적인 수준에서 대수 구조는 수학적 객체의 집합이며 기초 집합이라고 불리며 하나 또는 여러 연산과 함께 사용됩니다. 추상 대수는 보통 기본 세트에서 임의의 2개의 객체를 입력으로 가져와 이 세트에서 다른 객체에 출력으로 매핑하는 이진 조작에 한정됩니다. 예를 들어, 대수 구조는 기초 집.. 2024. 3. 3. 대수학(Algebra) - 기본 대수학 및 선형대수학 기본 대수학(Elementary algebra) 학교 대수, 대학 대수, 고전 대수라고도 불리며, 가장 오래되고 가장 기본적인 형태입니다. 이것은 변수의 사용에 의존하는 산술의 일반화이며, 식이 어떻게 변환되는지를 조사합니다. 산술은 수치 연산을 연구하는 학문으로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 연산을 사용하여 수치가 어떻게 결합되고 변환되는지를 조사합니다. 예를 들어, 덧셈 연산은 덧셈이라고 불리는 2개 수의 합계라고 불리는 세 번째 수에 결합합니다. 기본 대수는 정규 수 외에도 변수를 허용하면서 동일한 연산에 의존합니다. 변수는 미지정 또는 알 수 없는 양의 기호입니다. 정확한 값을 알 수 없는 관계를 기술하여 어떤 숫자가 사용되는지에 관계없이 진실인 일반적인 법칙을 표현할 수 있도록 합니다. 예.. 2024. 3. 3. 대수학(Algebra) 이란? 대수학의 개념 대수학은 대수계와 그들 계 내에서의 방정식 조작을 연구하는 수학 분야입니다. 정규수 이외의 변수와 가산, 곱셈 등의 표준적인 연산 이외의 대수 연산을 포함하는 산술의 일반화입니다. 초등대수는 학교에서 가르치는 대수의 주요한 형태이며, 불특정 한 값에 대한 변수를 사용하여 수학적 기술을 조사합니다. 그것은 어떤 가치관이 진실인지를 판단하려고 합니다. 이를 위해 방정식을 변환하는 다양한 방법을 사용하여 변수를 분리합니다. 선형 대수는 몇 가지 선형 방정식, 이른바 선형 방정식의 시스템에 나타나는 변수를 연구하는 밀접하게 관련된 분야입니다. 그것은 모든 방정식을 동시에 푸는 값을 발견하려고 합니다. 추상 대수는 수학적 객체의 집합과 그 집합에 정의된 하나 또는 여러 이진 연산으로 구성된 대수 구.. 2024. 3. 3. 수학의 기하학 (2) 공리(Axioms) 유클리드는 지금까지 쓰인 책 중 가장 영향력 있는 책 중 하나인 "Elements"에서 기하학에 추상적인 접근을 취했습니다. 유클리드는 특정 공리 또는 가정을 도입하여 점, 선 및 평면의 일차적 또는 자명한 성질을 표현했습니다. 그는 수학적 추론에 의해 다른 성질을 엄밀히 추론하는 것을 진행했습니다. 유클리드의 기하학에 대한 접근법의 특징은 엄격함이었고 공기하학 또는 합성기하학으로 알려지게 되었습니다. 19세기 초, 니콜라이 이바노비치 로바체프스키, 야노스 보리와이, 카를 프리드리히 가우스 등에 의한 비유클리드 기하학의 발견은 이 분야에 대한 관심의 부활로 이어졌습니다. 데이비드 힐베르트는 기하학의 현대적 기초를 제공하기 위해 공리적 추론을 채택하기도 했습니다. 객체(Objects) .. 2024. 3. 2. 수학의 기하학 기하학의 개념 기하학은 도형의 거리, 형상, 크기 및 상대 위치 등의 공간 특성에 관한 수학의 한 분야입니다. 기하학은 산술과 함께 수학의 가장 오래된 분야 중 하나입니다. 기하학 분야에서 일하는 수학자는 기하학자라고 불립니다. 19세기까지 기하학은 유클리드 기하학에 거의 전적으로 전념하고 있었습니다. 유클리드 기하학에는 점, 선, 평면, 거리, 각도, 표면 및 곡선의 개념이 기본 개념으로 포함되어 있습니다. 원래 물리적 세계를 모델화하기 위해 개발된 기하학은 거의 모든 과학에 응용되고 있으며 예술이나 건축 등 그래픽 관련 활동에도 응용되고 있습니다. 기하학은 무관한 수학 영역에도 응용이 있습니다. 예를 들어 대수기하학의 방법은 기본적인 산술의 관점에서 서술되며 수세기 동안 미해결 상태로 남아 있던 페르.. 2024. 3. 2. 수학의 숫자 이론 (Number theory, 수론) (2) 기본 수론(Elementary number theory) "elementary"이라는 용어는 일반적으로 복잡한 분석을 사용하지 않는 방법을 나타냅니다. 예를 들어, 소수의 정리는 1896년에 복소해석을 통해 처음 증명되었지만 1949년에 Erdős와 Selberg에 의해서만 기초적인 증명이 발견되었습니다. 이 용어는 다소 모호합니다. 예를 들어 복잡한 타우베리 정리(Tauberian theorems)에 근거한 증명은 복잡한 분석이 아닌 푸리에 분석을 사용하고 있음에도 불구하고 매우 계발적인 것으로 간주되는 경우가 종종 있습니다. 여기서는 다른 곳과 마찬가지로 기본적인 증명은 대부분의 독자에게 비기본적인 증명보다 길고 더 어려울 수 있습니다. 수론은 그 결과의 대부분이 아마추어에게 설명할 수 있는 분야라는.. 2024. 3. 1. 수학의 숫자 이론 (Number theory, 수론) 숫자 이론의 개념 수학의 숫자 이론(Number theory, 수론)은 주로 정수와 산술함수를 연구하는 분야입니다. 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스는 "수학은 과학의 여왕이고 수론은 수학의 여왕이다"라고 말하였습니다. 수론자는 소수뿐만 아니라 정수(유리수 등)로 구성된 수학적 대상의 성질도 연구합니다. 정수는 그 자체 또는 방정식의 해로 생각할 수 있습니다. 수론에서의 질문은 정수, 소수 또는 다른 수 이론 객체의 특성을 어떤 방법으로 분석 수론과 같은 부호화하는 분석 객체의 연구를 통해 가장 잘 이해되는 경우가 많습니다. 또 예를 들면 후자에 의해서 근사 되듯이 유리수 관련해 실수를 연구할 수도 있습니다. 수 이론의 오래된 용어는 산술(arithmetic)입니다. 20세기 초경에 그것은 수론(num.. 2024. 2. 29. 수학에 대해서 수학의 기본적인 내용 수학은 수식, 숫자, 관련된 구조, 형상과 그것들이 포함된 공간, 양과 그것들의 변화의 주제를 포함하는 학문입니다. 이러한 주제는 각각 수 이론, 대수, 기하학과 분석의 주요 하위 분야에서 현대 수학으로 나타나고 있습니다. 수학적 활동의 대부분은 추상적인 물체의 성질을 발견하고 그것을 증명하기 위해 순수한 이성을 이용하는 것입니다. 이러한 추상적인 물체 즉 객체는 자연으로부터의 추상화 또는 현대 수학에서 공리(Axioms)라고 불리는 특정한 성질을 갖도록 규정된 실체로 구성되어 있습니다. 이미 확립된 결과에 대한 연역적 규칙 적용의 연속으로 구성되는 증명이 있습니다. 이전에 증명된 정리, 공리, 그리고 고려 중인 이론의 진정한 출발점으로 간주하는 몇 가지 기본적인 성질들이 이러한 결.. 2024. 2. 28. 이전 1 다음
