기본 수론(Elementary number theory)
"elementary"이라는 용어는 일반적으로 복잡한 분석을 사용하지 않는 방법을 나타냅니다. 예를 들어, 소수의 정리는 1896년에 복소해석을 통해 처음 증명되었지만 1949년에 Erdős와 Selberg에 의해서만 기초적인 증명이 발견되었습니다. 이 용어는 다소 모호합니다. 예를 들어 복잡한 타우베리 정리(Tauberian theorems)에 근거한 증명은 복잡한 분석이 아닌 푸리에 분석을 사용하고 있음에도 불구하고 매우 계발적인 것으로 간주되는 경우가 종종 있습니다. 여기서는 다른 곳과 마찬가지로 기본적인 증명은 대부분의 독자에게 비기본적인 증명보다 길고 더 어려울 수 있습니다.
수론은 그 결과의 대부분이 아마추어에게 설명할 수 있는 분야라는 평판을 가지고 있습니다. 그러면서도 이러한 결과에 대한 증명은 특별히 접근할 수 없는데, 부분적으로는 그들이 사용하는 도구의 범위가 수학 내에서 비정상적으로 넓기 때문입니다.
해석 수론(Analytic number theory)
해석 수론은 아래와 같이 정의가 가능합니다.
- 도구 측면에서 실제적이고 복잡한 분석에서 도구를 사용한 정수의 연구와 같이
- 그 우려에 관해서는 동일성이 아닌 크기와 밀도에 대한 추정치의 수론 내에서의 연구와 같이
일반적으로 해석수론의 일부로 간주되는 주제도 있지만, 예를 들어 체이론(sieve theory)은 제1의 정의보다 제2의 정의에서 더 잘 다루어지고 있습니다. 체 이론 중에는 해석을 거의 사용하지 않는 것도 있는데 그럼에도 불구하고 그것들은 해석 수론에 속합니다.
해석수론에서의 문제의 예로는 소수정리, 골트바흐 추측(Goldbach conjecture)(또는 쌍둥이소 추축, 혹은 하디 리틀우드 추정), 워링 문제 및 리만 가설 등이 있습니다. 해석수론의 가장 중요한 도구 중 일부는 원법, 체법 및 L함수입니다. 모듈러 형식의 이론 또한 해석수론의 범위에서 점점 더 중심적인 위치를 차지하고 있습니다.
대수적 수에 대한 분석적인 질문을 할 수 있고, 그러한 질문에 대답하기 위해 분석 수단을 사용할 수 있습니다. 따라서 대수론과 분석적 수론을 사용할 수 있습니다. 따라서 대수론과 분석적 수론은 교차합니다. 예를 들어 대수 분야에서 소수의 일반화를 정의하고 특정 크기까지의 소수 이상이 몇 개인지 물어볼 수 있습니다. 이 질문은 피험자의 뿌리에 있는 중요한 분석대상인 리만제타 함수의 일반화인 데데킨제타 함수의 조사를 통해 대답할 수 있습니다. 이것은 해석수론의 일반적인 절차의 한 예입니다.
대수론(Algebraic number theory)
대수는 합리적인 계수를 가진 여러 다항식 방정식의 해인 임의의 복소수입니다. 대수적 수의 필드는 대수적 수 필드 또는 약호 필드라고도 합니다. 대수적 수 이론은 대수적 수 필드를 연구하는 이론입니다. 따라서 해석적 및 대수적 수론은 중복될 수 있습니다. 해석적 수론은 그 방법에 의해 정의되고 대수적 수론은 그 연구 대상에 의해 정의됩니다.
가장 단순한 종류의 수의 필드는 이미 가우스에 의해 연구되었다고 주장할 수 있습니다. 왜냐하면 산술논리곱에 있어서의 2 차형 논의는 2 차장의 이상과 규범의 관점에서 다시 말할 수 있기 때문입니다. 이 점에 관해서, 11세기의 차크라발라(chakravala method)은 현대적인 용어로는 실제 2차수 필드의 단위를 구하는 알고리즘에 해당합니다. 하지만 hāskara도 Gauss도 그런 번호 필드를 몰랐습니다.
우리가 알고 있는 주제의 근거는 이상적인 수, 이상적인 이론과 평가 이론이 개발된 19세기 후반에 설정되었습니다. 이들은 대수적인 수 분야의 고유 인수분해 부족에 대처하는 세가지 보완적인 방법입니다. 이상수의 발전을 위한 최초의 추진력은 보다 높은 상호작용법, 즉 2차적 상호작용의 일반화에 의한 것이라고 생각됩니다.
숫자 필드는 더 작은 수의 필드 확장으로 연구되는 경우가 종종 있습니다. L에 K가 포함되어 있는 경우 필드 L은 K의 확장이라고 불립니다. 주어진 수 필드의 가능한 확장을 분류하는 것은 어렵고 부분적으로 열려 있는 문제입니다. 이러한 분류는 19세기 후반에 시작되었으며, 주로 1900년대부터 1950년에 걸쳐 실시된 계급장 이론(class field theory)의 대상이었습니다.
대수론의 연구 분야로는 이아사와 이론(Iwasawa theory)이 있습니다. 수학에서 현재의 주요한 대규모 연구 계획 중 하나인 랭글랜즈 프로그램(Langlands program)은 계급장 이론을 비아벨적인(non-abelian) 숫자 필드 확장으로 일반화하려는 시도로 설명되기도 합니다.
지오판틴 기하학 (Diophantine geometry)
"Diophantine" 기하학의 중심적인 문제는 Diophantine 방정식이 언제 해를 가질지, 해가 있을 경우 몇 가지를 결정하는 것입니다. 이 접근법은 방정식의 해를 기하하적 대상으로 생각하는 것입니다.
예를 들어, 두 변수의 방정식이 평면 내의 곡선을 정의합니다. 더 일반적으로는 두 개 이상의 변수에서 방정식 또는 방정식 체계가 n차원 공간에서 곡선, 표면 또는 다른 그러한 객체를 정의합니다. Diophantine 기하학에서는 곡선 또는 서피스 상에 유리점 또는 적분점이 존재하는지 여부를 묻습니다. 그런 점이 있으면 다음 단계에서는 몇 개가 있는지, 어떻게 분포되어 있는지를 물어보게 됩니다. 이 방향의 기본적인 질문은 주어진 곡선 또는 표면 위에 무한히 많은 유리점이 있는지 여부입니다.